4维时空的拉普拉斯算符如何定义？如何用电磁场张量表示麦克斯韦方程？8月4日12时，《张朝阳的物理课》第二百二十期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先讲解了上指标求导的定义，并基于此推导出线元的坐标基表达以及梯度的张量表达。自然的介绍了四维时空中的拉普拉斯算子的定义并与之前的结果进行对比。在这之后引入了电磁张量并利用电磁张量表示麦克斯韦方程。

张朝阳讲解电磁势

电磁势的达朗贝尔方程与上指标求导

在上次物理课中，张朝阳介绍了电磁势的达朗贝尔方程，这次的内容也将从这里开始。麦克斯韦方程有如下形式：

在几何单位制下，即c=1，做如下的变量替换：

就可以将麦克斯韦方程写成如下整齐的形式：

其中：

以及：

三维空间中的拉普拉斯算子：

这时，自然希望可以将时间也包含进来，组成一个四维的“达朗贝尔算子”：

有了这个定义，电磁势就会满足所谓的“达朗贝尔方程”：

这个方程也可以用四维时空下的导数算符来表示：

对比两者，会发现当导数算符从三维空间提升到了四维时空时，增加的时间方向分量前的符号是负号，这是一个有趣的情况，它来自于用度规对导数算符进行指标的升降。即：

而在平直时空的直角坐标系中，度规的分量是：

时间分量对应的逆为：

看起来负号的出现就不奇怪了。但是，用度规升降一个导数算符到底是什么意义呢？这可以从三维拉普拉斯算子“求梯度”的含义中看出来。

对于四维时空中的一个任意向量，有：

当这个矢量是一段微小的位移矢量时，即：

就可以计算这段位移矢量的模长即线元：

对于平直时空的直角坐标系而言：

其中：

也可以写作：

当这个矢量是一个梯度算符作用在某个标量场的结果，即：

在三维空间直角坐标系下它的分量：

代表了这个标量场沿着各个方向的变化率。理解了这个意义，就可以将标量场梯度的分量写作：

其中l是沿着某一方向的位移矢量，而i是对应方向的单位矢量。而位移矢量可以写作：

即有：

其中：

带入位移矢量表达式可得：

这时就可以看到度规将导数算符的指标升到上边是什么含义，正是求梯度，当从三维空间升格到四维时空时，这一规律同样满足，即：

将这个上指标导数算符也看作一个一阶张量，考虑到此时是在平直时空的直角坐标系下讨论此问题，那么对其求散度就得到：

这个算符再对一个标量场作用的结果就是：

当然这个算符不止可以作用在标量场上，还可以作用在矢量场上，例如电磁势：

就得到了电磁势的达朗贝尔方程：

张朝阳讲解电磁势达朗贝尔方程

电磁张量与麦克斯韦方程

从上式可以看到，这是一个二阶微分方程，将它降阶更有利于计算；另一方面，似乎可以将这个方程看作是对某个二阶张量求散度。考虑了对称性之后，合理的猜测是：

是一个二阶张量。对它求散度，这里仍然是在平直时空直角坐标系下讨论问题，得到：

由于选定了洛伦茨规范条件：

猜测的二阶张量的第二项就等于0，这样由电磁势的达朗贝尔方程就能得到：

即：

此时就可以放心的说，F定义了电磁张量，并且在洛伦茨规范条件下上式和麦克斯韦方程组等价。

张朝阳讲解电磁张量

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。