文章目录

• 一、题目描述
• • • 示例 1
    • 示例 2
• 二、代码
• 三、解题思路

一、题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1

输入：n = 3
输出：5

示例 2

输入：n = 1
输出：1

提示：1 <= n <= 19

二、代码

代码如下：

class Solution:def numTrees(self, n: int) -> int:result = [1, 1]  # n=0时 有1种情况, n=1时，也只有1种情况if n <= 1:return result[n]for m in range(2, n + 1):s = m - 1count = 0for i in range(m):count += result[i] * result[s - i]result.append(count)print(result[n])return result[n]

三、解题思路

本题需要找到所有可能的二叉搜索树的总个数，提供的二叉树结点是长度为n的连续自然数数组，我们希望能找到n取不同值时二叉搜索树总数，找到他们之间的一个规律，现本题解将发现规律进行展示：
我们假设f(n)为长度为n的连续自然数数组对应的二叉搜索树的总个数，则f(n)可以表示为：
先从最基础的情况开始看，
我们不难理解n=0（即空树）、n=1时二叉搜索树可能的情况只可能是1种（即f(0)=1,f(1)=1）
在n=2时我们也能很快知道二叉搜索树可能的情况只有2种（即f(2)=2）
当n=3时，我们可以选择任意的点作为根节点，然后在根节点左边的数被拿去构造左子树，在根节点右边的数被拿去构造右子树；
例如：n=3 时的数组为[1,2,3]，
我们此时拿1作为根节点，则根节点左边的数[]拿去构造左子树，根节点右边的数[2,3]拿去构造右子树
此时左边的数[]长度为0，它只可能有1种情况，即f(0)=1；
而右边的数[2,3]长度为2，它则有可能有2种情况，即f(2)=2,
此时我们就可以用上之前求出来的基础结果了，因为左子树的构建和右子树的构建是独立互不影响的，所以他们所可能组成的结果总数为 f(0)f(2) = 2种
当然，因为我们是随机选择某个数作为根节点，所以还可能存在根节点为2,3的情况，以2为根节点为例，此时左边的数为[1]，右边的数为[3]，我们分别用它们去构建左、右子树，
此时左边的数[1]长度为1，它只可能有1种情况，即f(1)=1；
而右边的数[3]长度为1，它则有可能有1种情况，即f(1)=1；
则当根节点为2时，可能构成的结果数量为 f(1)*f(1) = 1种
同理，当我们选择3作为根节点时，可能构成的结果为 f(2)*f(0) = 2种
当我们加上以上所有结果后，我们就能知道n=3时的结果：
f(3) = f(0)f(2) + f(1)f(1) + f(2)f(0) = 2 + 1 + 2 = 5种
相同的，我们要求n=4时二叉搜索树的总数：
f(4) = f(0)f(3) + f(1)f(2) + f(2)f(1) + f(3)f(0) = 5 + 2 + 2 + 5 = 14种
…
所以当长度为n时，公式如下：
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + f(2)*f(n-3) +… + f(n-3)*f(2) + f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)
最后化简就是我们求得的公式。
这样我们就可以从头开始慢慢计算后面的结果，每一次都会用上之前求得的答案。