强化学习笔记-04 动态规划Dynamic Programming_学习

强化学习笔记-04 动态规划Dynamic Programming

创始人

2025-05-30 20:23:41

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本文是博主对《Reinforcement Learning- An introduction》的阅读笔记，不涉及内容的翻译，主要为个人的理解和思考。

前文介绍的有限马尔可夫决策过程是强化学习建模的基础形式，并介绍了通过Bellman equation的迭代计算可以解决该问题，本文将通过动态规划方法dynamic programming (DP) 来实现这一过程的计算。

当环境建模为有限MDP时，环境中的状态state，动作action和奖励reward的合集是有限的。同时状态间的转换概率p(s’,r|s,a)也是确定的。另外要求状态合集不能太多，因此DP算法本质上会遍历所有的状态，状态数增加会极大增加计算耗时。

1. Generalized Policy Iteration

前文介绍了两阶段迭代计算（Generalized Policy Iteration (GPI)）来完成Bellman equation中的决策函数 $\pi(a|s)$ 和价值函数 v(s) 。这个两阶段的迭代过程分别称之为决策评估Policy Evaluation 和决策优化Policy Improvement。

决策评估Policy Evaluation 是指在特定的决策函数下，去估计各个状态的价值函数，如下的k表示迭代轮数（式1）：

$\\v_{k+1}(s) \\ = \sum_a{\pi(a|s)}E[G_t | s, a] \\ =\sum_a{\pi(a|s)}E[R_t +\gamma G_{t+1} | s, a] \\ =\sum_a{\pi(a|s)}\sum_{s',r}P(s',r|s,a)(r +\gamma v_{k}(s'))$

而决策优化Policy Improvement是指在固定价值函数情况下，确定最优决策函数（式2）

$\\ \pi^{*}(a|s)\\ =\underset{a}{argmax}\ q_{\pi}(a, s)\\ =\underset{a}{argmax} \sum_{s',r} P(s',r|s,a)(r + \gamma v(s'))$

这两阶段的迭代过程会随着训练的加强，最终决策函数和价值函数都会收敛。另外如果我们考虑前文所提到强化学习算法的on-policy和off-policy两种策略，在on-policy中，价值函数可以改写为如下式子（式3），此时价值函数更新时不需要用到决策函数，称这为Value Iteration。

$\\ v_{k+1}(s) =\underset{a}{max} \sum_{s',r}P(s',r|s,a)(r +\gamma v_{k}(s'))$

在更新价值函数时，可以直接用上轮的价值函数 v_k(s) 来更新当前轮 $v_{k+1}(s)$ ，另一种是按动态规划的方法，合理安排状态遍历顺序，使得当前状态价值 $s$ 计算所依赖的其他状态 $s'$ 在其之前完成价值函数 v(s') 的计算，此时可以只用一个数组来保存所有的状态价值函数，这种方式可以提升收敛速度。

2. 伪代码实现过程

上述过程的伪代码描述：

3. 例子和代码实现

接下来我们以一个具体的例子实现上述过程：

猜硬币游戏：假设你参加一连续多次的抛硬币猜朝向游戏，在每次抛硬币前，你需要为本次下注一定金额（金额为1~99元之间的整数值），如果硬币朝上，则可以获得下注等额金额，反之则失去下注的金额。这个猜硬币过程可以一直持续进行，直到你手里总共金额达到100元或者0元时结束，假设你刚开始手里有50元，求最优的下注金额。

这个问题我们可以建模为一个有限马尔可夫决策过程，其关键在于状态价值函数 v(s)

当前手里的金额数由状态 $s$ 表示
每次抛硬币前下注金额即为动作 $a$
状态间的转换概率可以通过问题背景确定，如下式子中的 $p_h$ 表示硬币朝上的概率，在状态s下选择下注金额后，下一状态只有两种情况：

$p(s',r|s,a)= \begin{cases} 1-p_h & \text{ if } s'=s-a,\ r = -a \\ p_h & \text{ if } s'=s+a,\ r = a \\ 0 & \text{ if } other \\ \end{cases}$

价值函数和奖励 $r$ 的表示可以有多种形式，比如可以表示为未来获取的金额，此时奖励 $r$ 则为本轮下注后所赚或输的金额，或者可以表示为最后获胜的概率（最后赢得100元的概率），此时奖励 $r$ 仅当时为1否则为0，如下所示：

$\begin{cases} r =1& \text{ if } s=100 \\ r=0& \text{ if } other \end{cases}$

决策函数 $\pi(a|s)$ 表示状态s情况下采取动作a的概率，可以用一个表格表示，在初始的情况下，可以用随机选择表示，比如当手里金额为97时，此时下注金额可能为[1,2,3]，假设初始情况下，概率都是一致的。

$\begin{cases} \pi(a|s) = 0 & \text{ if } s=0 \\ \pi(a|s) = 0 & \text{ if } s=100 \\ \pi_0(a|s) = 1/min(100-s, s) & \text{ if } 0< s<100, 0< a < min(100-s, s) \\ \pi_0(a|s) = 0& \text{ if } other \end{cases}$

根据上述的分析，我们很容易写下如下Policy Iteration的代码：

def state_transfers_model(s, a, ph):"""给定状态和动作，返回下一状态、奖励以及转移概率"""r = 0if s + a >= 100:r = 1return [(min(100, s + a), r, ph), (max(0, s - a), 0, 1.0 - ph)]def policy_iteration_dp(is_softmax=False, decay=0.99, det_thred=1e-10, ph=0.4):"""Policy Iteration"""# 1. 初始化V = [0.0 for _ in range(101)]# 决策函数D = [[ 0 for _ in range(100)]]for s in range(1, 100):d = [0]for a in range(1, 100):if a <= min(s, 100 - s):d.append(1/(min(s, 100-s) + 1))else:d.append(0)D.append(d)D.append([0 for _ in range(100)])# Policy IterationD_det = 1000while D_det > det_thred:# 2. Policy EvaluationV_det = 1000while V_det > det_thred:det = 0 # 定义价值函数的变化for s in range(1, 100):before_v = V[s]after_v = 0for a in range(1, min(s, 100 - s) + 1):pa = D[s][a]for next_s, r, p in state_transfers_model(s, a, ph):after_v += pa * p * (r + decay * V[next_s])V[s] = after_vV_det = max(det, abs(after_v - before_v))# 3. Policy ImprovementD_det = 0 # 定义决策函数的变化for s in range(1, 100):q_v = [0]for a in range(1, 100):a_v = 0if a in range(1, min(s, 100 - s) + 1):for next_s, r, p in state_transfers_model(s, a, ph): # q(a, s)a_v += p * (r + decay * V[next_s])q_v.append(a_v)before_Ds = D[s]if is_softmax: # softmax形式设置决策函数after_Ds = list(map(lambda x: x/ sum(q_v), q_v))else: # argmax形式设置决策函数max_a = q_v.index(max(q_v))after_Ds = [0.0] + [0.0] * (max_a - 1) + [1.0] + (99 - max_a) * [0.0]D_det = max(D_det, sum(map(lambda x, y: abs(x - y), before_Ds, after_Ds)))D[s] = after_DsV[100] = 1.0V[0] = 0.0    return V, D

更为简单的Value Iteration的代码：

def value_iteration_dp(is_softmax=False, decay=0.99, det_thred=1e-10, ph=0.4):"""Policy Iteration"""# 1. 初始化V = [0.0 for _ in range(101)]# Value Iterationdet = 1000while det > det_thred:det = 0 # 定义价值函数的变化for s in range(1, 100):before_v = V[s]after_vs = []for a in range(1, min(s, 100 - s) + 1):a_v = 0for next_s, r, p in state_transfers_model(s, a, ph):a_v += p * (r + decay * V[next_s])after_vs.append(a_v)after_v = max(after_vs)det = max(det, abs(after_v - before_v))V[s] = after_vD = [[0 for _ in range(100)]] # s=0时无决策for s in range(1, 100):q_v = [0]for a in range(1, 100):a_v = 0if a in range(1, min(s, 100 - s) + 1):for next_s, r, p in state_transfers_model(s, a, ph): # q(a, s)a_v += p * (r + decay * V[next_s])q_v.append(a_v)if is_softmax: # softmax形式设置决策函数Ds = list(map(lambda x: x/ sum(q_v), q_v))else: # argmax形式设置决策函数max_a = q_v.index(max(q_v))Ds = [0.0] + [0.0] * (max_a - 1) + [1.0] + (99 - max_a) * [0.0]D.append(Ds)D.append([0 for _ in range(100)]) # s=100时无决策V[100] = 1.0V[0] = 0.0return V, D

如何读者分别运行上述代码时，会发现每个状态下最优决策动作（下式）是不一样的，而且同教材中的Figure 4.3中的描述的完成不一致（如下图所示），实际上并没有区别，因为这个问题存在无数最优解，只要解的范围在下图中间所示的三角形区域中间即可，具体可以参考作者本人的解释。

$\pi^*(a|s)=\underset{a}{argmax}\ q(s,a)= \underset{a}{argmax}\ D[s][a]$

另外我们还发现硬币朝上概率 $p_h$ 的大小实际上并不影响决策函数的分布，其只会影响最终价值函数的分布，如下图：

4. 总结

通过动态规划算法解决了我们第一个强化学习问题，但在现在强化学习中，DP算法很少会用到，因为当状态合集非常庞大时，采用DP算法的耗时非常巨大，虽然可以通过异步DP算法Asynchronous Dynamic Programming，通过分布式的不同的计算节点可以独立地更新价值函数，同时每次更新并不需要计算全部的节点，这种策略可以在一定程度提升计算效率，但这种方式实际上是低效的，特别是当状态是连续的情况，DP算法很难有办法完整解决。

虽然在现在强化学习中，DP算法是过时，但对于我们理解强化学习算法很重要，特别是Generalized Policy Iteration的思想可以帮助我们理解诸如value-base相关的强化学习模型。此外对于环境可知（即状态间的转换概率 p(s',r|s,a) 是确定的）且状态有限的情况下，DP算法不失是一种非常可靠的选择。

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1. Generalized Policy Iteration

2. 伪代码实现过程

3. 例子和代码实现

4. 总结

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