[个人笔记] 投影矩阵的导数计算

• （1） 问题
• （2） 求导

（1） 问题

正交投影矩阵为：
P=I−AT(AAT)−1AP=I-A^T(AA^T)^{-1}AP=I−AT(AAT)−1A

（2） 求导

dPdt=−dATdt(AAT)−1A−ATd((AAT)−1)dtA−AT(AAT)−1dAdt\frac{dP}{dt}=-\frac{dA^T}{dt}(AA^T)^{-1}A-A^T\frac{d((AA^T)^{-1})}{dt}A-A^T(AA^T)^{-1}\frac{dA}{dt}dtdP​=−dtdAT​(AAT)−1A−ATdtd((AAT)−1)​A−AT(AAT)−1dtdA​
其中第一、第三项不能合并，下面考虑第二项，
d((AAT)−1)dt=d(AAT)−1d(AAT)d(AAT)dt\frac{d((AA^T)^{-1})}{dt}=\frac{d(AA^T)^{-1}}{d(AA^T)}\frac{d(AA^T)}{dt}dtd((AAT)−1)​=d(AAT)d(AAT)−1​dtd(AAT)​
d(AAT)−1d(AAT)=(AAT)−1AATAAT(AAT)−1=(AAT)−1(AAT)−1\frac{d(AA^T)^{-1}}{d(AA^T)}=(AA^T)^{-1}\frac{AA^T}{AA^T}(AA^T)^{-1}=(AA^T)^{-1}(AA^T)^{-1}d(AAT)d(AAT)−1​=(AAT)−1AATAAT​(AAT)−1=(AAT)−1(AAT)−1
d(AAT)dt=dAdtAT+AdATdt\frac{d(AA^T)}{dt}=\frac{dA}{dt}A^T+A\frac{dA^T}{dt}dtd(AAT)​=dtdA​AT+AdtdAT​
那么，
ATd((AAT)−1)dtA=AT(AAT)−2(dAdtAT+AdATdt)AA^T\frac{d((AA^T)^{-1})}{dt}A=A^T(AA^T)^{-2}\left(\frac{dA}{dt}A^T+A\frac{dA^T}{dt}\right)AATdtd((AAT)−1)​A=AT(AAT)−2(dtdA​AT+AdtdAT​)A
因此
dPdt=−dATdt(AAT)−1A−AT(AAT)−2(dAdtAT+AdATdt)A−AT(AAT)−1dAdt\frac{dP}{dt}=-\frac{dA^T}{dt}(AA^T)^{-1}A-A^T(AA^T)^{-2}\left(\frac{dA}{dt}A^T+A\frac{dA^T}{dt}\right)A-A^T(AA^T)^{-1}\frac{dA}{dt}dtdP​=−dtdAT​(AAT)−1A−AT(AAT)−2(dtdA​AT+AdtdAT​)A−AT(AAT)−1dtdA​