前置知识：直接积分法

第二类换元法简介

在求∫f(x)dx\int f(x)dx∫f(x)dx时，若不好求，则我们可以令x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t)，则
∫f(x)dx=∫f(φ(t))d(φ(t))=∫f(φ(t))φ′(t)dt\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))d(\varphi(t))=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt∫f(x)dx=∫f(φ(t))d(φ(t))=∫f(φ(t))φ′(t)dt

这里涉及到一阶微分形式不变性。

以上就是第二类换元法。在积分式∫f(x)dx\int f(x)dx∫f(x)dx比较复杂的情况下，可以用第二类换元法进行变换。

以下是几种代换方法。

三角代换

若被积函数含有二次根式，通常用三角换元，一般的三角换元如下：

• a2−x2\sqrt{a^2-x^2}a2−x2​型：令x=asin⁡tx=a\sin tx=asint
• a2+x2\sqrt{a^2+x^2}a2+x2​型：令x=atan⁡tx=a\tan tx=atant
• x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x2−a2​型：令x=asec⁡tx=a\sec tx=asect

可以通过画直角三角形来帮助理解。

三角代换的例题

题1： 计算∫a2−x2dx\int \sqrt{a^2-x^2}dx∫a2−x2​dx，(a>0)(a>0)(a>0)

解：
\qquad令x=asin⁡tx=a\sin tx=asint，t=arcsin⁡xt=\arcsin xt=arcsinx，dx=acos⁡tdtdx=a\cos tdtdx=acostdt

\qquad原式=∫acos⁡t⋅acos⁡tdt=a2∫cos⁡2tdt=\int a\cos t\cdot a\cos t dt=a^2\int\cos^2tdt=∫acost⋅acostdt=a2∫cos2tdt

=a2∫12(1+cos⁡2t)dt=a22∫(1+cos⁡2t)dt\qquad\qquad =a^2\int \dfrac 12(1+\cos 2t)dt=\dfrac{a^2}{2}\int (1+\cos 2t)dt=a2∫21​(1+cos2t)dt=2a2​∫(1+cos2t)dt

=a22(t+12sin⁡2t)+C=a22t+a22sin⁡tcos⁡t+C\qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}(t+\dfrac 12\sin 2t)+C=\dfrac{a^2}{2}t+\dfrac{a^2}{2}\sin t\cos t+C=2a2​(t+21​sin2t)+C=2a2​t+2a2​sintcost+C

=a22arcsin⁡xa+a22⋅xa⋅a2−x2a+C\qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac xa+\dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac xa\cdot \dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C=2a2​arcsinax​+2a2​⋅ax​⋅aa2−x2​​+C

=a22arcsin⁡xa+12xa2−x2+C\qquad\qquad =\dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac xa+\dfrac 12x\sqrt{a^2-x^2}+C=2a2​arcsinax​+21​xa2−x2​+C

题2： 计算∫1(x2+1)3dx\int \dfrac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}dx∫(x2+1)3​1​dx

解：
\qquad令x=tan⁡tx=\tan tx=tant，t=arctan⁡xt=\arctan xt=arctanx，dx=sec⁡2tdtdx=\sec^2tdtdx=sec2tdt

\qquad原式=∫1sec⁡3t⋅sec⁡2tdt=∫cos⁡tdt=sin⁡t+C=xx2+1+C=\int\dfrac{1}{\sec^3 t}\cdot \sec^2 tdt=\int\cos tdt=\sin t+C=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C=∫sec3t1​⋅sec2tdt=∫costdt=sint+C=x2+1​x​+C

当x=tan⁡tx=\tan tx=tant时，x2+1=tan⁡2t+1=sin⁡2tcos⁡2t+1=sin⁡2t+cos⁡2tcos⁡2t=1cos⁡2t=sec⁡2tx^2+1=\tan^2 t+1=\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+1=\dfrac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\cos^2 t}=\dfrac{1}{\cos^2 t}=\sec^2tx2+1=tan2t+1=cos2tsin2t​+1=cos2tsin2t+cos2t​=cos2t1​=sec2t

幂代换

被积函数含有ax+bn\sqrt[n]{ax+b}nax+b​或ax+bcx+dn\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}ncx+dax+b​​时，通常用幂代换。

幂代换的例题

题1： 计算∫11+2xdx\int \dfrac{1}{1+\sqrt{2x}}dx∫1+2x​1​dx
解：
\qquad令2x=t\sqrt{2x}=t2x​=t，x=12t2x=\dfrac 12t^2x=21​t2，dx=tdtdx=tdtdx=tdt

\qquad原式=∫11+t⋅tdt=∫t1+tdt=∫(1−11+t)dt=\int\dfrac{1}{1+t}\cdot tdt=\int\dfrac{t}{1+t}dt=\int(1-\dfrac{1}{1+t})dt=∫1+t1​⋅tdt=∫1+tt​dt=∫(1−1+t1​)dt

=t−ln⁡∣1+t∣+C=2x+ln⁡∣1+2x∣+C\qquad\qquad =t-\ln|1+t|+C=\sqrt{2x}+\ln|1+\sqrt{2x}|+C=t−ln∣1+t∣+C=2x​+ln∣1+2x​∣+C

倒代换

当分子和分母的幂次相差大于等于222时，通常用x=1tx=\dfrac 1tx=t1​替换。

倒代换例题

题1： 计算∫1x4(x2+1)dx\int \dfrac{1}{x^4(x^2+1)}dx∫x4(x2+1)1​dx
解：
\qquad令x=1tx=\dfrac 1tx=t1​，t=1xt=\dfrac 1xt=x1​，dx=−1t2dtdx=-\dfrac{1}{t^2}dtdx=−t21​dt

\qquad原式=∫11t4(1t2+1)⋅(−1t2)dt=\int\dfrac{1}{\frac{1}{t^4}(\frac{1}{t^2}+1)}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=∫t41​(t21​+1)1​⋅(−t21​)dt

=−∫t41+t2dt=−∫(t2−1+11+t2)dt\qquad\qquad =-\int\dfrac{t^4}{1+t^2}dt=-\int(t^2-1+\dfrac{1}{1+t^2})dt=−∫1+t2t4​dt=−∫(t2−1+1+t21​)dt

=−13t2+t−arctan⁡t+C=−13x2+1x−arctan⁡1x+C\qquad\qquad =-\dfrac 13t^2+t-\arctan t+C=-\dfrac{1}{3x^2}+\dfrac 1x-\arctan \dfrac 1x+C=−31​t2+t−arctant+C=−3x21​+x1​−arctanx1​+C

指数代换

由exe^xex或e−xe^{-x}e−x构成的北被积函数，通常用t=xet=x^et=xe替换。

指数替换例题

题1： ∫11+exdx\int \dfrac{1}{1+e^x}dx∫1+ex1​dx
解：
\qquad令t=ext=e^xt=ex，x=ln⁡tx=\ln tx=lnt，dx=1tdtdx=\dfrac 1tdtdx=t1​dt

\qquad原式=∫11+t⋅1tdt=∫(1t−11+t)dt=ln⁡∣t∣−ln⁡∣t+1∣+C=x−ln⁡(ex+1)+C=\int\dfrac{1}{1+t}\cdot \dfrac 1tdt=\int(\dfrac 1t-\dfrac{1}{1+t})dt=\ln|t|-\ln|t+1|+C=x-\ln (e^x+1)+C=∫1+t1​⋅t1​dt=∫(t1​−1+t1​)dt=ln∣t∣−ln∣t+1∣+C=x−ln(ex+1)+C

总结

在遇到比较复杂的积分题时，注意根据被积函数的特性来运用第二类换元法，最后要记得换回来。