前置定义 1　设 TTT 是线性空间 VnV_nVn​ 中的线性变换，在 VnV_nVn​ 中取定一个基 α1,α2,⋯,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_nα1​,α2​,⋯,αn​，如果这个基在变换 TTT 下的像（用这个基线性表示）为
{T(α1)=a11α1+a21α2+⋯+an1αn)T(α2)=a12α1+a22α2+⋯+an2αn)⋯⋯⋯T(αn)=a1nα1+a2nα2+⋯+annαn)(1)\left\{ \begin{aligned} & T(\boldsymbol{\alpha}_1) = a_{11} \boldsymbol{\alpha}_1 + a_{21} \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + a_{n1} \boldsymbol{\alpha}_n) \\ & T(\boldsymbol{\alpha}_2) = a_{12} \boldsymbol{\alpha}_1 + a_{22} \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + a_{n2} \boldsymbol{\alpha}_n) \\ & \cdots \cdots \cdots \\ & T(\boldsymbol{\alpha}_n) = a_{1n} \boldsymbol{\alpha}_1 + a_{2n} \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + a_{nn} \boldsymbol{\alpha}_n) \\ \end{aligned} \right. \tag{1} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​​T(α1​)=a11​α1​+a21​α2​+⋯+an1​αn​)T(α2​)=a12​α1​+a22​α2​+⋯+an2​αn​)⋯⋯⋯T(αn​)=a1n​α1​+a2n​α2​+⋯+ann​αn​)​(1)
记 T(α1,α2,⋯,αn)=(T(α1),T(α2),⋯,T(αn))T(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) = (T(\boldsymbol{\alpha}_1), T(\boldsymbol{\alpha}_2), \cdots, T(\boldsymbol{\alpha}_n))T(α1​,α2​,⋯,αn​)=(T(α1​),T(α2​),⋯,T(αn​))，则上式 (6)(6)(6) 可表示为
T(α1,α2,⋯,αn)=(α1,α2,⋯,αn)A(2)T(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A} \tag{2} T(α1​,α2​,⋯,αn​)=(α1​,α2​,⋯,αn​)A(2)
其中
A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann)\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎠⎟⎟⎟⎞​
那么，A\boldsymbol{A}A 就称为 线性变换 TTT 在基 α1,α2,⋯,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_nα1​,α2​,⋯,αn​ 下的矩阵。

定义详 “【推导】线性变换的矩阵表达式”。

根据前置定义 1，显然，矩阵 A\boldsymbol{A}A 由基的像 T(α1),⋯,T(αn)T(\boldsymbol{\alpha}_1),\cdots,T(\boldsymbol{\alpha}_n)T(α1​),⋯,T(αn​) 唯一确定，即由线性变换 TTT 可唯一地确定一个矩阵 A\boldsymbol{A}A。下面推导由一个矩阵 A\boldsymbol{A}A 也可唯一地确定一个线性变换 TTT。

将 Vn\boldsymbol{V}_nVn​ 中的任意元素记为 α=∑i=1nxiαi\boldsymbol{\alpha} = \sum_{i=1}^n x_i \boldsymbol{\alpha}_iα=∑i=1n​xi​αi​，根据前置定义 1 的式 (2)(2)(2)，有
T(∑i=1nxiαi)=∑i=1nxiT(αi)=(T(α1),T(α2),⋯,T(αn))(x1x2⋮xn)=(α1,α2,⋯,αn)A(x1x2⋮xn)\begin{aligned} T(\sum_{i=1}^n x_i \boldsymbol{\alpha}_i) & = \sum_{i=1}^n x_i T(\boldsymbol{\alpha}_i) \\ & = (T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),\cdots,T(\boldsymbol{\alpha}_n)) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \\ & = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \end{aligned} T(i=1∑n​xi​αi​)​=i=1∑n​xi​T(αi​)=(T(α1​),T(α2​),⋯,T(αn​))⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​=(α1​,α2​,⋯,αn​)A⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​​
即
T[(α1,α2,⋯,αn)(x1x2⋮xn)]=(α1,α2,⋯,αn)A(x1x2⋮xn)(3)T \left[ (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \right] = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \tag{3} T⎣⎢⎢⎢⎡​(α1​,α2​,⋯,αn​)⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​⎦⎥⎥⎥⎤​=(α1​,α2​,⋯,αn​)A⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​(3)
上式 (3)(3)(3) 唯一地确定一个变换 TTT，可以验证确定的变换 TTT 是以 A\boldsymbol{A}A 为矩阵的线性变换。总之，以 A\boldsymbol{A}A 为矩阵的线性变换 TTT 由关系式 (3)(3)(3) 唯一确定。

综上所述，线性变换与矩阵之间有一一对应的关系。

由关系式 (3)(3)(3)，可见 α\boldsymbol{\alpha}α 与 T(α)T(\boldsymbol{\alpha})T(α) 在基 α1,α2,⋯,αn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_nα1​,α2​,⋯,αn​ 下的坐标分别为
α=(x1x2⋮xn),T(α)=A(x1x2⋮xn)\boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \hspace{1em} T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} α=⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​,T(α)=A⎝⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎞​
即按坐标表示，有
T(α)=AαT(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha} T(α)=Aα